Question

16．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD-CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．

解答 解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险
理由如下：如图所示．
则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．
∴∠CAB=∠ABD，
∴BC=AC=200海里．
在Rt△ACD中，设CD=x海里，
则AC=2x，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2$\sqrt{3}$x，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}x）^{2}-（\sqrt{3}x）^{2}}$=3x，
又∵BD=BC+CD，
∴3x=200+x，
∴x=100．
∴AD=$\sqrt{3}$x=100$\sqrt{3}$≈173.2，
∵173.2海里＞170海里，
∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．

点评 本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．