Question

如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90º后再沿轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）C（0，2），；（2）在；（3）（，0）或（，0）

【解析】

试题分析：（1）由CD∥x轴可判断C，D两点的纵坐标相同，即可得到C点的坐标及n的值；已知抛物线过D点，可将D的坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）根据旋转的性质可得△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的长可以通过C点的坐标得出，求CH即OB的长，要先得出B点的坐标，可通过抛物线的解析式来求得．这样可得出E点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可判断出E是否在抛物线上；

（3）可先设出P点的坐标如（a，0）．由于直线PQ过E点，因此可根据P，E的坐标用待定系数法表示出直线PQ的解析式，进而可求出Q点的坐标．这样就能表示出BP，AP，CQ，DQ的长，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面积．然后分类进行讨论：①梯形BPQC的面积：梯形APQD的面积=1：3；②梯形APQD的面积：梯形BPQC的面积=1：3，根据上述两种不同的比例关系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的坐标．

（1）∵四边形OBHC为矩形，

∴CD∥AB， 

又∵D（5，2）

∴C（0，2），OC=2

∴，解得

∴抛物线的解析式为：；

（2）由y = 0，得 

解得x₁=1，x₂=4

∴A（4，0），B（1，0）

∴OA=4，OB=1

由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°

由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°

∴点E的坐标为（3，－1）

把x=3代入，得 

∴点E在抛物线上；

（3）存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1

S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，

下面分两种情形：

①当S₁∶S₂ =1∶3时，，

此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a－6

由S₁=2，得，解得；

 ②当S₁∶S₂=3∶1时，,

此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，

∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S₁= 6，得，解得.

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）.

考点：本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、图形旋转翻折变换、矩形的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转翻折只是图形的位置有变化，而大小不变，同时要求学生具备分类讨论，数形结合的数学思想方法．