Question

18．已知关于x的二次函数y=ax²+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值．
（2）若函数的图象是抛物线，且图象始终在x轴上方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）需考虑a为0和不为0的情况，当a=0时图象为一直线；当a≠0时图象是一抛物线，由判别式△=b²-4ac判断；
（2）根据题意列出不等式则可解．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+x+1，
∴a≠0，
依题意得方程ax²+x+1=0有两等实数根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=$\frac{1}{4}$．
∴当a=$\frac{1}{4}$时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）∵图象始终在x轴上方，
∴a＞0，且△＜0，
∴1-4a＜0，
∴a＞$\frac{1}{4}$
∴当a＞$\frac{1}{4}$，抛物线的图象始终在x轴上方．

点评 本题主要考查了二次函数系数与函数图象的关系，本题解题过程中要注意①函数是二次函数；②只有一个交点，那么b²-4ac=0，③图象在x轴上方，a＞0，且△＜0．