Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x轴上
（1）求P₁的坐标；
（2）求y₁+y₂+y₃+…y₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，知P₁的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式求得该点的坐标；
（2）主要是根据等腰直角三角形的性质和双曲线的解析式首先求得各个点的横坐标，再进一步求得其纵坐标，发现抵消的规律，从而求得代数式的值．

解答：解：（1）由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，则有x₁²=4，故x₁=±2（负舍），点P₁（2，2）．

（2）解：过P₁作P₁B⊥OA₁于B，过P₂作P₂C⊥A₁A₂于C，
∵△OP₁A₁、△A₁P₁A₂是等腰直角三角形，
∴OB=BP₁=BA₁=x₁=y₁
∴y₂=A₁C=OC-A₁B-OB=x₂-x₁-y₁，
同理可得：y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又yn=

4

xn

，则：x2-4=

4

x2

，解得，x2=2

2

+2．
∴y2=2

2

-2，
∴x3-4

2

=

4

x3

，x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
同理，依次得x2=2

2

+2，y2=2

2

-2，
x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
x4=2

4

+2

3

，y4=2

4

-2

3

，
x5=2

5

+2

4

，y5=2

5

-2

4

，
…
x9=2

9

+2

8

，y9=2

9

-2

8

，
x₁₀=2

10

+2

9

，y₁₀=2

10

-2

9

，
∴y₁+y₂+y₃+…+y₁₀=2+2

2

-2+2

3

-2

2

+2

4

-2

3

+…+2

9

-2

8

+2

10

-2

9

=2

10

．

点评：此题主要是综合运用了等腰直角三角形的性质以及结合函数的解析式求得点的坐标．解答本题时同学们要找出其中的规律．