Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P_n（x_n，y_n），…在函数 y=

2 3

x

(x＞0)的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，△P_nA_n-1A_n都是等边三角形，边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x轴上．求P₁的坐标

 

．

Answer 1

分析：由已知，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，△P_nA_n-1A_n都是等边三角形，边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x轴上，所以得：
∠P₁OA₁=60°，即得OP₁所在的直线为y=tan60°x，也就是说点P₁在直线OP₁上，又P₁（x₁，y₁）在函数 y=

2 3

x

(x＞0)的图象上，所以得：y₁=tan60°x₁，y₁=

2 3

x1

，由此求出x₁，y₁，即点P₁的坐标．

解答：解：已知△P₁OA₁是等边三角形，
∴∠P₁OA₁60°，
又OA₁在x轴上，
∴OP₁所在的直线为y=tan60°x，且点P₁（x₁，y₁）在直线OP₁上，
∴得：y₁=tan60°x₁        ①
又点P₁（x₁，y₁）在函数 y=

2 3

x

(x＞0)的图象上，
∴得：y₁=

2 3

x1

           ②
由已知x＞0，所以由①②解得：
x₁=

2

，y₁=

6

，
即点P₁的坐标为：（

2

，

6

），
故答案为：（

2

，

6

）．

点评：此题考查的知识点是反比例函数应用，解答此题的关键是由已知等边三角形得到OP₁所在的直线，即点P₁（x₁，y₁）在直线上，又在函数 y=

2 3

x

(x＞0)的图象上，所以得到x₁和y₁的方程组，从而求出x₁和y₁．