Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，
求此直线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图，设对称轴与x轴的交点为C，
∵对称轴直线为x=-=-=2，
∴点C的坐标为（2，0），
∵点A（-1，0），
∴AC=2-（-1）=2+1=3，
设直线AB与对称轴的交点为B，
∵直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，
∴×AC•BC=6，
即×3•BC=6，
解得BC=4，
∴点B的坐标为（2，4）或（2，-4），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
则或，
解得或．
所以，直线AB的解析式为：y=x+或y=-x-．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴解析式，设对称轴与x轴的交点为C，求出AB的长度，再根据三角形的面积公式求出BC的长度，然后根据点B在x轴上方与下方两种情况得到点B的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求直线解析式，以及三角形的面积，都是基本方法，难度不大，仔细分析便不难求解．