Question

【题目】如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F为上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝R；③在②的条件下，若，AB＝，则BF+CE＝1．其中正确的是（　　）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由弦AC=BD，可得，进而可得，然后由圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；②连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，进而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=R；③设AF与BD相交于点G，连接CG，易证得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG，即可判断．

①∵弦AC=BD，

∴，

∴，

∴∠ABD=∠BAC，

∴AE=BE，故①正确；

②连接OA，OD，

∵AC⊥BD，AE=BE，

∴∠ABE=∠BAE=45，

∴∠AOD=2∠ABE=90，

∵OA=OD，

∴AD=R，故②正确；

③设AF与BD相交于点G，连接CG，

∵，

∴∠FAC=∠DAC，

∵AC⊥BD，

∵在△AGE和△ADE中，

∵∠AEG=∠AED=90°，AE=AE，∠EAG=∠DAE，

∴△AGE≌△ADE(ASA)，

∴AG=AD，EG=DE，

∴∠AGD=∠ADG，

∵∠BGF=∠AGD，∠F=∠ADG，

∴∠BGF=∠F，

∴BG=BF，

∵AC=BD，AE=BE，

∴DE=CE，

∴EG=CE，

∴BE=BG+EG=BF+CE，

∵AB=，

∴BE=ABcos45°=1，

∴BF+CE=1.

其中正确的是：①②③，故选D.