Question

已知射线OC在∠AOB的内部．
（1）如图1，若已知∠AOC=2∠BOC，∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°．
①求∠AOB的度数；
②过点O作射线OD，使得∠AOC=3∠AOD，求出∠COD的度数．
（2）如图2，若在∠AOB的内部作∠DOC，OE、OF分别为∠AOD和∠COB的平分线．则∠AOB+∠DOC=2∠EOF，请说明理由．

Answer 1

考点：余角和补角,角平分线的定义,角的计算

专题：

分析：（1）①先设∠BOC=x，则∠AOC=2x，再用x表示出∠AOB的补角与∠BOC余角的大小，求出x的值，进而可得出结论；
②分射线OD在∠AOB的内部与在∠AOB的外部两种情况进行讨论．
（2）OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，可得∠DOE=

1

2

∠AOD，∠COF=

1

2

∠BOC，所以∠EOF=∠DOC+

1

2

（∠AOD+∠BOC），即可得2∠EOF=2∠DOC+∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠DOC．

解答：解：（1）①∵∠AOC=2∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOC=2x，
∴∠AOB的补角=180°-3x，∠BOC的余角=90°-x．
∵∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°，
∴180°-3x=90°-x+30°，解得x=30°，
∴∠AOB=3x=90°；

②∵由①知，x=30°，
∴∠AOC=2x=60°．
当射线OD在∠AOB的内部时，
∵∠AOC=3∠AOD，
∴∠COD=

2

3

∠AOC=

2

3

×60°=40°；
当射线OD在∠AOB的外部时，
∵∠AOC=3∠AOD，
∴∠AOD=

1

3

∠AOC=

1

3

×60°=20°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+60°=80°．
综上所述，∠COD的度数是40°或80°；

（2））∵OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，
∴∠EOD=

1

2

∠AOD，∠COF=

1

2

∠BOC，
∴∠EOF=∠DOC+

1

2

（∠AOD+∠BOC），
∴2∠EOF=2∠COD+∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD．即∠AOB+∠COD=2∠EOF．

点评：本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意（2）要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．