题目内容

学习三角形后，九（6）班的王老师给了这样一个题让同学们讨论：“已知一个三角形的两边长分别是6cm和5cm，其中一个内角是30°，求这个三角形的面积是多少？”于是得到很多结果：甲同学认为面积应该是 $数学公式$ cm²，乙同学认为面积应该是 $数学公式$ cm²而丙同学认为面积是 $数学公式$ cm²等，你认为他们的说法全面吗？若你有不同结论，请你用你所学的数学知识求出其面积．

解：不全面，应该有四种情况．
①如图①所示，
过C作CD⊥BC于D，
在Rt△ACD中，CD= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•CD= $\text{[math]}$ ×6cm× $\text{[math]}$ cm= $\text{[math]}$ cm²；

②如图②所示：过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ cm，AD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ cm；
在Rt△BDC中，CD= $\text{[math]}$ cm（勾股定理），
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•BD= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ cm= $\text{[math]}$ cm²；

③如图③所示，过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD= $\text{[math]}$ AB=3cm，AD=3 $\text{[math]}$ cm；
在Rt△BDC中，CD=4cm（勾股定理），
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•BD= $\text{[math]}$ ×（3 $\text{[math]}$ +4）×3cm= $\text{[math]}$ cm²；

④如图④所示：设CD=xcm，则
在Rt△ACD中，AD= $\text{[math]}$ xcm；
在Rt△BCD中，BD= $\text{[math]}$ cm，
∴AD+BD= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =6，
解得，x= $\text{[math]}$ ，或x= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•CD= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）×6cm= $\text{[math]}$ cm²；
或S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•CD= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）×6cm= $\text{[math]}$ cm²；
综上所述，该三角形的面积是： $\text{[math]}$ cm²； $\text{[math]}$ cm²； $\text{[math]}$ cm²； $\text{[math]}$ cm²．
分析：分类讨论：①30°角的两邻边是6cm和5cm；②30°角的对边和邻边分别是6cm和5cm；③30°角的对边和邻边分别是5cm和6cm；④30°角的两邻边是5cm和6cm．
点评：本题考查了三角形的面积，三角形中的勾股定理的运用以及含30度角的直角三角形．解答该题需要分类讨论．