Question

已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=2

7

，sin∠BCD=

3

4

．
（1）求证：CD∥BF；
（2）求弦CD的长；
（3）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；
（2）根据圆周角定理可得∠A=∠BCD，由于sin∠BCD=

3

4

，所以sin∠A=

3

4

，而AD=2

7

，由此求出DE也就求出了CD；
（3）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，所以sin∠BAD=

BD

AB

=

3

4

，再利用勾股定理即可求出AB，进而求出圆的半径．

解答：（1）证明：
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；
解：（2）∵∠BCD=∠BAD，
∴sin∠DAE=sin∠BCD=

3

4

，AD=2

7

，
∴

DE

AD

=

3

4

，
∵AD=2

7

，
∴DE=

3 7

2

，
∵AE⊥DE，
∴CE=DE，
∴CD=2ED=3

7

；
（3）连结BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=

BD

AB

=

3

4

，
∴AB=

4

3

BD，
∵AD=2

7

，
由勾股定理得BD=6，AB=8，
∴⊙O的半径为4．

点评：本题考查了圆的切线性质，勾股定理的运用及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．