Question

已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，=时，求△BPC与△ACO的面积之比．

Answer 1

解：（1）过C作CE∥OA交BD于E，
∴△BCE∽△BOD，
∴，
∵C为OB上中点，
∴CE=OD，
∵D为AO中点，
∴CE=AD，
∵△ECP∽△DAP，
∴=2；

（2）过C作CE∥OA交BD于E，过P作PF⊥OB交OB于F，
设AD=x，
∵=，
∴AO=OB=4x，
∴OD=3x，
∵△BCE∽△BOD，C为OB上中点，
∴CE=OD=x，
∵△ECP∽△DAP，
∴；
由勾股定理可知BD=5x，DE=x，
∴，
∴PD=AD=x，
∵PF=，S_△BPC=，
∵S_△ACO=4x²，
∴．
分析：（1）首先过C作CE∥OA交BD于E，可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的对应边成比例可得CE=OD=AD，再由△ECP∽△DAP，即可求得答案；
（2）首先过C作CE∥OA交BD于E，过P作PF⊥OB交OB于F，然后设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再由△ECP∽△DAP得；
又由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则可求得PF=，S_△BPC=，而S_△ACO=4x²，继而求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及比例的性质等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相似三角形对应边成比例的性质的应用，注意数形结合思想的应用．