Question

已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，时，求tan∠BPC．

Answer 1

【答案】分析：（1）过D作BO的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△ADE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根据C是BO的中点，可以求出PE：PC=1：2，再根据三角形中位线定理，E是AC的中点，利用比例变形求出AP与PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再过D作DF⊥AC于F，设AD为a，利用勾股定理求出AC等于2 a，再利用相似三角形对应边成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC与∠FPD是对顶角，所以其正切值便可求出．
解答：解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，
∵D为OA中点，∴AE=CE=，，
∵点C为OB中点，
∴BC=CO，，
∴，
∴PC==，
∴=2；

（2）过点D作DE∥BO交AC于E，
∵，∴==，
∵点C为OB中点，∴，
∴，∴PC==，
过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，
∵OA=OB，点C为OB中点，∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC===2 a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，
∴AF=，DF=，
PF=AC-AF-PC=2 a--=，
tan∠BPC=tan∠FPD==．
点评：本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力．