Question

已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求

AP

PC

的值；
（2）如图2，当OA=OB，

AD

AO

=

1

4

时，求△BPC与△ACO的面积之比．

Answer 1

分析：（1）首先过C作CE∥OA交BD于E，可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的对应边成比例可得CE=

1

2

OD=

1

2

AD，再由△ECP∽△DAP，即可求得答案；
（2）首先过C作CE∥OA交BD于E，过P作PF⊥OB交OB于F，然后设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=

1

2

OD=

3

2

x，再由△ECP∽△DAP得

PD

PE

=

AD

CE

=

2

3

；
又由勾股定理可知BD=5x，DE=

5

2

x，则可求得PF=

12

5

x，S_△BPC=

12

5

x2，而S_△ACO=4x²，继而求得答案．

解答：解：（1）过C作CE∥OA交BD于E，
∴△BCE∽△BOD，
∴

CE

OD

=

BC

BO

，
∵C为OB上中点，
∴CE=

1

2

OD，
∵D为AO中点，
∴CE=

1

2

AD，
∵△ECP∽△DAP，
∴

AP

PC

=

AD

CE

=2；

（2）过C作CE∥OA交BD于E，过P作PF⊥OB交OB于F，
设AD=x，
∵

AD

AO

=

1

4

，
∴AO=OB=4x，
∴OD=3x，
∵△BCE∽△BOD，C为OB上中点，
∴CE=

1

2

OD=

3

2

x，
∵△ECP∽△DAP，
∴

PD

PE

=

AD

CE

=

2

3

；
由勾股定理可知BD=5x，DE=

5

2

x，
∴

PD

DE-PD

=

2

3

，
∴PD=AD=x，
∵PF=

12

5

x，S_△BPC=

12

5

x2，
∵S_△ACO=4x²，
∴

S△BPC

S△ACO

=

3

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及比例的性质等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相似三角形对应边成比例的性质的应用，注意数形结合思想的应用．