如图.在平面直角坐标系中.O是坐标原点.点C的坐标为.B是射线CO上的一个动点.经过B点的直线交x轴于点A(直线AB总有经过第二.四象限).且OA=2OB.动点P在直线AB上.设点P的纵坐标为m.线段CB的长度为t．(1)当t=7.且点P在第一象限时.连接PC交x轴于点D．①直接写出直线AB的解析式,②当CD=PD时.求m的值,③求△ACP的面积S．(2)是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标为（0，-3），B是射线CO上的一个动点，经过B点的直线交x轴于点A（直线AB总有经过第二、四象限），且OA=2OB，动点P在直线AB上，设点P的纵坐标为m，线段CB的长度为t．
（1）当t=7，且点P在第一象限时，连接PC交x轴于点D．
①直接写出直线AB的解析式；
②当CD=PD时，求m的值；
③求△ACP的面积S．（用含m的代数式表示）
（2）是否同时存在m、t，使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形？若存在，请求出所有满足要求的m、t的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）①当t=7时，即CB=7，由OC=3，OA=2OB求出A，B两点的坐标，再设直线AB的解析式为y=kx+b，将A，B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
②过P作PH⊥OA于H，当CD=PD时，根据AAS可得△COD≌△PHD，则PH=OC，即m=3；
③先由PH∥OB，得△APH∽△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出

，求出AH=2m，则OH=8-2m，再根据三角形面积公式得出S_△BCP=28-7m，则S=S_△ABC-S_△BCP=7m；
（2）由于B是射线CO上的一个动点，所以根据B点的不同位置分两种情况进行讨论：①点B运动在y轴的正半轴上；②点B运动在OC上．又动点P在直线AB上，直线AB总有经过第二、四象限，所以在每一种情况下，P点所在的位置又有三种可能的情况：①点P分别在第一、二、四象限；②点P分别在第二、三、四象限．

解答：解：（1）①当t=7时，CB=7，
∵OC=3，
∴OB=CB-OC=7-3=4，
∴OA=2OB=8，
∴A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，

则

8k+b=0

b=4

，解得

k=-

b=4

，
∴直线AB的解析式为y=-

x+4；

②如图，过P作PH⊥OA于H．
在△COD与△PHD中，

∠COD=∠PHD=90°

∠ODC=∠HDP

CD=PD

，
∴△COD≌△PHD，
∴CO=PH，

∴m=3；

③∵PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴

，

，
∴AH=2m，OH=8-2m，
∴S_△BCP=

×7×（8-2m）=28-7m，
∴S=S_△ABC-S_△BCP=28-（28-7m）=7m；

（2）①当点B运动在y轴的正半轴上时．
a、当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，则PA=OC=3．
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×

，即m₁=

．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=

OB，即t=

（t-3），
∴t₁=

-1

15+3

；

b、当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形，不可能为等腰梯形；
c、当点P在第四象限时，如图3，四边形AOPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形；
②当点B运动在OC上时．
a、当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
b、当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
c、当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP为等腰梯形，则AP=OC=3，
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×