Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC．
（1）求AD的长；
（2）若点P是BC边上的任意一点（不与B、C两点重合），试求AP²+PB•PC的值；
（3）若点P是BC的延长线上的任意一点，请直接写出AP²-PB•PC的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出结果；
（2）利用勾股定理，借助于平方差公式即可证明；
（3）同（2）．

解答 解：（1）∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
（2）∵AB=AC，
∴BD=CD
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²②
①-②得：AB²-AP²=BD²-PD²=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP，
∴AP²+PB•PC=AB²=25；
（3）若点P是BC的延长线上的任意一点，同（2）得：AP²-PB•PC=AB²=25．

点评 本题主要考查勾股定理、等腰三角形性质；熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．