Question

5．如图，已知B、C、E在同一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、BD．
（1）求证：AE=BD．
（2）若把△DEF绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请画出图形进行说明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得△BCD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD．
（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．

解答 解：（1）∵△ABC、△DCE均为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）成立；
如图：∵△ABC、△DCE均为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°，解决本题的根据是证明△ACE≌△BCD．