Question

12．如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中，①当x＞0时，y＞0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；正确的是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ①②③都不对

Answer 1

分析 观察函数图象可直接得到抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；把A点坐标代入y=-x²+2x+m+1中求出m，确定抛物线解析式，再通过解方程-x²+2x+3=0得到B点坐标，从而可对②进行判断；先确定抛物线的对称轴为直线x=1，则点P和点Q在对称轴两侧，所以点P到直线x=1的距离为1-x₁，点Q到直线x=1的距离为x₂-1，然后比较点Q点对称轴的距离和点P点对称轴的距离的大小，再根据二次函数的性质可对③进行判断．

解答 解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
当a=-1时，A点坐标为（-1，0），把A（-1，0）代入y=-x²+2x+m+1得-1-2+m+1=0，解得m=2，则抛物线解析式为y=-x²+2x+3，解方程-x²+2x+3=0得x₁=-1，x₂=3，则B（3，0），即b=3，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，因为x₁＜1＜x₂，所以点P和点Q在对称轴两侧，点P到直线x=1的距离为1-x₁，点Q到直线x=1的距离为x₂-1，则x₂-1-（1-x₁）=x₂+x₁-2，而x₁+x₂＞2，所以x₂-1-（1-x₁）＞0，所以点Q到对称轴的距离比点P到对称轴的距离要大，所以y₁＞y₂，所以③正确．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．判断点P、点Q到对称轴的距离的大小是判断命题③的真假的关键．