Question

如图，在△ABC的外接圆O中，D是的中点，AD交BC于点E，连接BD．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC，若在上任取一点K（点A，B，C除外），连接CK，DK，DK交BC于点F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据相似三角形的判定可以得到相似三角形共有三对；
（2）先根据已知作图，通过证明△KDC∽△CDF，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到DC²=DF•DK．
解答：解：（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

（2）DC²=DF•DK成立．
证明：∵D是的中点，
∴=，
∴∠DBC=∠DCB（等弧的圆周角相等），
又∵∠DBC=∠DKC，
∴∠DCB=∠DKC，
又∵∠KDC=∠CDF，
∴△KDC∽△CDF，
∴，
∴DC²=DF•DK．
点评：考查了相似三角形的判定方法及三角形外接圆与外心等知识的掌握情况．