Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+

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∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由角平分线的性质与三角形的内角和定理，即可求得①∠BOC=90°+

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∠A正确；又有特殊三角形（等边三角形）的三线合一性质，可得EF可以是△ABC的中位线，确定②错误；然后根据角平分线的性质与面积的求解方法，即可得S_△AEF=

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mn；首先证得△OBE与△OCF是等腰三角形，根据圆与圆的位置关系，即可得以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．继而求得答案．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=

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∠ABC，∠OCB=

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∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

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（∠ABC+∠ACB）=90°+

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∠A；故①正确；
若△ABC是等边三角形，则三线合一，此时EF是△ABC的中位线；故②错误；
连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是△ABC的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴OH=OD=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

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AE•OH+

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AF•OD=

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OD•（AE+AF）=

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mn；故③错误；
④∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠FOC=∠OCB，
∵∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．故④正确．
故选B．

点评：此题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．