Question

【题目】已知,点A为⊙0外一点,过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP=∠DPA。

（1）求证：PO=PD

(2)若AC=,求⊙O的半径。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）半径.

【解析】

（1）设∠OAP=∠DPA=x，根据三角形外角的性质和切线的性质，分别表示出∠ODP和∠OPD，根据∠OPD=∠ODP可求出x=30°，易得△ODP是等边三角形，结论得证；

（2）设半径为r，则AP=，然后用勾股定理求得，最后根据切割线定理列出方程求解即可.

解：（1）设∠OAP=∠DPA=x，则∠ODP=2x，

∵PA为切线，

∴∠OPA=90°，

∴∠OPD=90°-x，

∵∠OPD=∠ODP，

∴90°-x=2x，

解得：x=30°，

∴∠ODP=∠OPD=90°-x=60°，

∴△ODP是等边三角形，

∴PO=PD；

（2）设半径为r，

由（1）得∠OAP=30°，

∴AP=，

∴，

由切割线定理可得：AP2=AC·AB，即，

解得：.