一次函数y=ax+b的图象分别与x轴.y轴交于点M.N.与反比例函数的图象交于点A.B.过点A分别作AC⊥x轴.AE⊥y轴.垂足分别为C.E,过点B分别作BF⊥x轴.BD⊥y轴.垂足分别为F.D.AC与BD交于点K．连接CD.(1)若点A.B在反比例函数的图象的同一分支上.如图(1).试证明: ①S四边形AEDK=S四边形CFBK, ②AN=BM,(2)若点A.B分别在反比例� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数

的图象交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K．连接CD。
（1）若点A，B在反比例函数

的图象的同一分支上，如图（1），试证明：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；
②AN=BM；
（2）若点A，B分别在反比例函数

的图象的不同分支上，如图（2），则AN与BM还相等吗？试证明你的结论。

解：（1）①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，
∴四边形AEOC为矩形，
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BDOF为矩形，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形,
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，
∴S_矩形AEOC= OC·AC=x₁·y₁=k,
∵OF=x²，FB=y²，x²·y²=k，
∴S_矩形BDOF =OF·FB=x²·y²=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，
S_矩形CFBK=S_矩形BDOF=S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK，
∴AK·DK=BK·CK，
∴
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD，
∴∠ABK=∠CDK，
∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM；
（2）AN与BM仍然相等，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，
S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=_{S矩形BDOF=k，
∴S矩形AEDK=S矩形BKCF}，
∴AK·DK=BK·CK，
∴
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM。