Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）中，因为OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，则可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数y=

k

x

的图象上，由此可求出开k=3，从而求出反比例函数的解析式．
（2）中，因为一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

3

x

的图象交于A，B两点，点B的坐标为（m，-2）．所以3=-2x．
即m=-

3

2

，B（-

3

2

，-2）．然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，最终写出一次函数的解析式．
（3）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，

PD

DC

=

DC

OD

，而点C、D分别是一次函数y=

2

3

x-1的图象与x轴、y轴的交点，因此有C（

3

2

，0）、D（0，-1）．OC=

3

2

，OD=1，DC=

13

2

．进而可求出PD，OP的长得出P点坐标．

解答：解：：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴

k

3

=1，∴k=3．
∴双曲线的解析式为y=

3

x

；

（2）∵点B（m，-2）在双曲线y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
∴m=-

3

2

．
∴点B的坐标为（

3

2

，-2）．
∴

3a+b=1 3 2 a+b=-2

，∴

a= 2 3 b=-1

∴一次函数的解析式为y=

2

3

x-1．

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

OD

，
∴PD=

DC2

OD

=

13

4

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P点坐标为（0，

9

4

）．

点评：本题考查的是反比例函数，此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用．