Question

如图，二次函数y=x²﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；

（3）是否存在抛物线y=x²﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）125（3）存在抛物线，使得四边形AMBM′为正方形

【解析】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=x²﹣x+c的图象上，

∴×（﹣4）²﹣（﹣4）+c=0，解得c=﹣12。

 

 

 

∴二次函数的关系式为。

（2）∵，

∴顶点M的坐标为（1，）。

∵A（﹣4，0），对称轴为x=1，∴点B的坐标为（6，0）。∴AB=6﹣（﹣4）=6+4=10。

∴S_△ABM=。

∵顶点M关于x轴的对称点是M′，∴S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM=2×=125。

（3）存在抛物线，使得四边形AMBM′为正方形。理由如下：

 

 

 

 

 

在y=x²﹣x+c中，令y=0，则x²﹣x+c=0，

设点AB的坐标分别为A（x₁，0）B（x₂，0），

则x₁+x₂=，x₁•x₂=。

∴。

点M的纵坐标为：。

∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，

 

∴，整理得，4c²+4c﹣3=0，解得c₁=，c₂=﹣。

又抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b²﹣4ac=（﹣1）²﹣4×c＞0，解得c＜。∴c的值为﹣。

∴存在抛物线，使得四边形AMBM′为正方形。

（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解。

（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据对称性求出点B的坐标，求出AB的长。根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM，计算即可得解。

（3）令y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长度，根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标，然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解，如果关于c的方程有解，则存在，否则不存在。