Question

【题目】平面直角坐标系中，是等边三角形，点，点，点是边上的一个动点（与点、不重合）.直线是经过点的一条直线，把沿直线折叠，点的对应点是点．

（1）如图①，当时，若直线，求点的坐标；

（2）如图②，当点在边上运动时，若直线，求的面积；

（3）当时，在直线变化过程中，求面积的最大值（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设直线交于点，连接交于，再证明是等边三角形；然后再根据，、关于对称，得到，；利用解直角三角形可以求得OD的长；过点作于点，在中，解直角三角形可得OF和的长即可解答；

（2）连接，根据对称的性质和直线可得，最后根据解答即可；

（3）作O’P⊥AB时，垂足为E，然后解三角形和线段的和差求得O’E，最后在运用三角形的面积公式求解即可．

解：（1）设直线交于点，连接交于，

∵，

∴，，

∴是等边三角形，

∵，，关于对称，

∴，

∵，

∴，

过点作于点，在中，可得，

，

∴点的坐标为

（2）连接，

∵，关于直线对称，

∴直线，

∵直线，

∴，

∴.

（3）当O’P⊥AB时，垂足为E，的面积最大

如图：作O’P⊥AB时，垂足为E

在Rt△BPE中，PA=2.∠B=60°

∴PE=PA·sin60°=

∴O’E=6+.

∴面积的最大值：.