Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，可证出OD∥BE，从而得出∠ODE=90°，即得出答案；
（2）设OD交AC于点M，可得出四边形DMCE为矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理得出x，即为圆的半径．
解答：解：（1）连接OD，
∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，则∠EBD=∠ODB，（1分）
则OD∥BE，（2分）
∠ODE=∠DEB=90°，（3分）
DE是⊙O的切线；（4分）

（2）设OD交AC于点M，
易得矩形DMCE，DM=EC=1，
AM=MC=DE=2，（5分）
设⊙O的半径为x，得x²=2²+（x-1）²，（6分）
解得：，（7分）
⊙O的半径为（8分）．
点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理，是一道综合题，难度不大．