Question

已知：△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、ED的中点．
求证：MN垂直平分DE．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：连接EM，DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得三角形BEC与三角形BDC为直角三角形，根据M为BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EM为BC的一半，DM也为BC的一半，等量代换可得EM=DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M在线段ED的垂直平分线上，又N为ED的中点，可得N也在DE的垂直平分线上，即MN垂直平分ED，得证．

解答：证明：连接EM，DM，如图所示：

∵BD，CE为△ABC的两条高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
在Rt△BEC中，M为斜边BC的中点，
∴EM=

1

2

BC，
同理在Rt△BDC中，M为斜边BC的中点，可得DM=

1

2

BC，
∴EM=DM，
∴M在线段ED的垂直平分线上，
又N为ED的中点，
∴N也在线段ED的垂直平分线上，
∴MN垂直平分ED．

点评：此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键．