Question

如图，已知抛物线y=x²+x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标。

（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。

（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）令x²+x+2=0，解得=－1,=5……………1分

令x=0,则y=2,所以A、B、C的坐标分别是A（－1,0）、B（5,0）、C（0,2）……………2分

（2）顶点M的坐标是M（2，）……………3分

过M作MN垂直y轴于N,所以△BCM的面积=－－=(2+5)×－×5×2－×(－2)×2=6……………5分

（3）当以AC为腰时，在x轴上有两个点分别为,，易求AC=……………6分

则0=1+,O=－1,所以,的坐标分别是（－1－,0），（－1，0）

……………7分

当以AC为底时，作AC的垂直平分线交x轴于，交y轴于F，垂足为E，CE=

……8分

易证△CEF∽△COA所以,而,所以,CF=

OF=OC－CF=2－=， EF=……………9分

又△CEF∽△OF，所以，求得O=

则的坐标为（，0）

所以存在、、三点，它们的坐标分别是（－1－,0）、（－1，0）、

（，0）