如图(1).矩形ABCD的边AB=4.BC=8.将Rt△ABC绕点B逆时针旋转90°得到Rt△GEF.点E与B重合.将△GEF从B以每秒1个单位的速度向射线BC方向匀速移动.当点G与点C重合时停止运动.设运动时间为t秒.解答下列问题:(1)在运动过程中.当t为何值时.GF过点A,(2)在整个运动过程中.设△GEF与△ACD重叠部分的面积为S.求S与t的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图（1），矩形ABCD的边AB=4，BC=8，将Rt△ABC绕点B逆时针旋转90°得到Rt△GEF，点E与B重合，将△GEF从B以每秒1个单位的速度向射线BC方向匀速移动，当点G与点C重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在运动过程中，当t为何值时，GF过点A；
（2）在整个运动过程中，设△GEF与△ACD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）如图（2）在运动过程中当0≤t≤8时，连接BD交AC与O，设EF与线段BD交于点P，是否存在△PEO为等腰三角形？若存在，求出相应的t，若不存在说明理由．

分析（1）如图1，由旋转和平移的性质可知BF=BC=E′F′，易得F′M=ME′=4，可得AM为△G′E′F′的中位线，由中位线的性质可得AM的长，易得t；
（2）利用分类讨论的思想，①当0≤t≤2时，如图1，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，可得S=$\frac{1}{4}$t²；
②如图2，当2＜t≤8时，AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），利用相似三角形的性质可得AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），由S=S_△MPA-S_△AQN 可得结果；
③当8＜t≤10时，利用S=S_△ADC-S_△ANQ，求出答案；
④当10＜t≤12时，可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t），QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t），再利用S=$\frac{1}{2}$QM•QC求出答案；
（3）首先表示出PE²=（$\frac{1}{2}$t）²，QE²=2²+（4-t）²，OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$，再分别利用①当PO=PE时，②当EO=EP时，③当OE=OP时，求出答案．

解答解：（1）∵F′M=ME′=4，
∴t=AM=$\frac{1}{2}G′E′=2$，
即当t=2时，GF过点；

（2）①如图1，当0≤t≤2时，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，S=$\frac{1}{4}$t²，
②如图2，当2＜t≤8时，AN=t-2，
∵△ANQ∽△ACD，
∴$\frac{NQ}{AN}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{NQ}{t-2}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），
AQ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}（t-2）$，
∴S=S_△MPA-S_△AQN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{20}$t²+$\frac{4}{5}$t$-\frac{4}{5}$；
③如图3，当8＜t≤10时，
S=S_△ADC-S_△ANQ
=16-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t-$\frac{4}{5}$+16
=$-\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}t$$+\frac{76}{5}$；
④当10＜t≤12时，
可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
∴S=$\frac{1}{2}$QM•QC
=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）²
=$\frac{1}{5}$（24-2t）²
=-$\frac{4}{5}$t²-$\frac{96}{5}$t+$\frac{576}{5}$，
综上，有S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{\frac{1}{20}{t}^{2}+\frac{4}{5}t-\frac{4}{5}（2＜t≤8）}\\{-\frac{1}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t+\frac{76}{5}（8＜t≤10）}\\{\frac{4}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{576}{5}（10＜t≤12）}\end{array}\right.$；

（3）如图5，PE²=（$\frac{1}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²，OE²=2²+（4-t）²=4+16-8t+t²，
OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
①当PO=PE时，
$\frac{1}{4}{t}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²
解得：t=5$±\sqrt{5}$；
②当EO=EP时，
t²-8t+20=$\frac{1}{4}$t²，
解得：t₁=4，t₂=$\frac{20}{3}$；
③当OE=OP时，
t²-8t+20=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
解得：t₃=0，t₄=8；
当t=0时，P，E重合当t=4时，O，P重合，
综上所述：t的值为5+$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$，$\frac{20}{3}$，8．