Question

【题目】已知平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），与抛物线的对称轴相交于点，记抛物线的顶点为，过点作轴，垂足为．

（1）若轴，，求的值；

（2）当，抛物线与轴交于时，设射线与直线相交于点，求的值；

（3）延长，相交于点，求证：四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）先根据轴求出直线的函数解析式，再利用抛物线的轴对称性，求得A，B两点坐标，代入计算即可；

（2）先求出直线与抛物线的函数解析式，进而求得交点A、B以及顶点D的坐标，从而求得BD的函数解析式，然后求出点P、C的坐标，便可计算得到结论；

（3）设点坐标为，点坐标为，得到所在直线解析式，求得F的坐标，再利用根与系数的关系得到，进而得证

解：（1）∵轴，∴，即直线解析式为，

∵且抛物线对称轴为，

∴，．

∴点坐标为，点坐标为

代入求解得．

（2）解：当时，直线解析式为；抛物线与轴交于时，，即抛物线解析式为．

∴直线与抛物线交点坐标为，．

又抛物线顶点，

设直线解析式为，将，代入

解出直线解析式．

于是把代入中，可求得点坐标为

于是把x=1代入中，可求得点坐标为，

结合，，，，

可得的值为．

（3）解：设点坐标为，点坐标为，所在直线解析式为：．

将点代入解析式中得．

∴：．

∴令，可得点坐标为．

∵，为直线与抛物线：的交点，

∴．

设，是方程的两根，

∴，．

∴．

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形．