Question

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）
①当∠A=

 

时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足

 

条件时，四边形DAEF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△FCE，推出EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，即可推出答案；
（2）①求出∠DAE的度数，根据矩形的判定推出即可；
②求出AD=AE，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，
在△BCA和△FCE中，

BC=CF ∠BCA=∠FCE AC=CE

，
∴△BCA≌△FCE（SAS），
∴EF=BA=AD，
同理DF=AC=AE，
∴四边形DAEF是平行四边形；

（2）解：①当∠A=150°时，四边形DAEF是矩形，
理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
故答案为：=150°；

②当△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形DAEF是菱形，
理由是：由（1）知：EF=BA=AD，DF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
故答案为：AB=AC≠BC．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定的应用，解此题的关键是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了学生的推理能力．