Question

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B′DEC′，B′C′与AB、AC分别交于点M、N．
（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？

Answer 1

分析：（1）根据DE∥BC得△ADE∽△ABC；
（2）S_梯形MDEN=S_△ADE-S_△AMN．根据△ADE∽△ABC，△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S_△ADE，S_△AMN得y与x的函数关系式，应用函数性质求解．

解答：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴△ADE∽△ABC．   （2分）

（2）解：∵S_△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比为

x

6

，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

x

6

)2，所以S△ADE=

2

3

x2．    （4分）
∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'，
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD．
又B'D=BD，∴MD=BD．
∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．    （6分）
同理，△AMN∽△ABC，S△AMN=

8

3

(x-3)2
∴y=S△ADE-S△AMN=

2

3

x2-

8

3

(x-3)2=-2x2+16x-24． （8分）
配方得y=-2（x-4）²+8
∴当x=4时，y有最大值．   （10分）

点评：此题为二次函数与相似三角形的综合题，有一定难度．