题目内容
如图，已知菱形ABCD中，AD=5，过A作CB的垂线，交CB的延长线于点E，AE=4，设AE所在直线为l，将直线l以每秒1个单位长度的速度沿EC向右运动，交折线AD-DC于点P，交折线AB-BC于点F，以PF为边在直线l的右侧作出正方形PFMN．设运动时间为t（秒），正方形PFMN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，当直线l经过点C时停止运动．（1）当正方形PFMN的顶点N与点D重合时，求出的t值．
（2）当正方形PFMN的顶点N在边AD上运动时，连接DM、PM．是否存在这样的t值，使△PDM是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，则请说明理由．
（3）请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．
考点：四边形综合题
专题：压轴题
分析：（1）在Rt△BAE中由勾股定理就可以求出BE的值，就可以求出tan∠ABE=
，由菱形的性质就可以求出∠BAD=∠ABE，由三角函数值就可以表示出PF的值，由正方形的性质就可以得出PN=PF，就有AP+PN=5建立方程求出其解即可；
（2）如图1，连结PM，DM．可以分别表示出PM，PD及DM．在进行分类讨论，当PD=PM时，PD2=PM2，建立方程就可以求出结论；当MP=MD时，MP2=MD2建立方程就可以求出结论；当DP=DM时，DP2=DM2建立方程求出结论即可；
（3）如图2，图3，图4，图5，图6，分别求出当0≤t≤
，
＜t≤3，3＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤8时，由正方形的面积公式，梯形的面积公式，三角形的面积公式就可以表示出S与t的关系式．
| 4 |
| 3 |
（2）如图1，连结PM，DM．可以分别表示出PM，PD及DM．在进行分类讨论，当PD=PM时，PD2=PM2，建立方程就可以求出结论；当MP=MD时，MP2=MD2建立方程就可以求出结论；当DP=DM时，DP2=DM2建立方程求出结论即可；
（3）如图2，图3，图4，图5，图6，分别求出当0≤t≤
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| 7 |
| 15 |
| 7 |
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABE．∠BAD=∠C，
∵AE⊥EC，
∴∠E=90°，
∴BE2+AE2=AB2，．
∵AD=5，
∴AB=BC=CD=5．
∵AE=4，
∴BE2+16=25，
∴BE=3．
∴tan∠ABE=
，
∴tan∠BAD=tan∠C=
．
∵AP=t，
∴PF=
t．
∵四边形PFMN是正方形，
∴PF=FM=MN=PN=
t，
∴t+
t=5，
∴t=
．
答：t的值为
；
（2）如图1，连结PM，MD．
①∵AF=t，
∴PD=5-t，PF=
t，
∴ND=5-t-
t=5-
t，PM=
t．
在Rt△MND中，由勾股定理，得
MD2=
t2-
t+25．
当PD=PM时，
∴PD2=PM2
∴（5-t）2=（
t）2，
∴23t2-90t-225=0，
解得：t1=
，t2=
（舍去）；
②当MP=MD时，
∴MP2=MD2，
∴
t2=
t2-
t+25．
∴11t2-70t+75=0，
解得：t1=5＞
（舍去），t2=
；
③当DP=DM时，DP2=DM2，
∴（5-t）2=
t2-
t+25．
∴
-
=0，
解得：t1=0（舍去），t2=
综上所述：当t=
或t=
或t=
时，△PDM是等腰三角形；
（3）①如图2，当0≤t≤
时，
S=PF2=（
t）2=
t2；
②如图3，当
＜t≤3时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴∠NDC=∠C．
∴tan∠NDC=
t．
∵PD=5-t，PN=
t．
∴DN=
t-（5-t）=
t-5，
∴NG=
t-
．
∴S=
t2-
×(
t-5)(
t-
)=-
t2+
t-
；
③如图4，当3＜t≤4时，
∵PF=PN=4，PD=5-t，
∴DN=t-1，
∴NG=
t-
，
S=16-
×（t-1）（
t-
）=-
t2+
t+
；
④如图5，当4＜t≤5时，
PD=5-t，FC=8-t，
∴S=
PF（PD+FC）=
×4（5-t+8-t）=-4t+26；
⑤如图6，当5＜t≤8时
∵FC=8-t，
∴PF=
-
t．
∴S=
（8-t）（
-
t）=
t2-
t+
．
∴S=
．
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABE．∠BAD=∠C，
∵AE⊥EC，
∴∠E=90°，
∴BE2+AE2=AB2，．
∵AD=5，
∴AB=BC=CD=5．
∵AE=4，
∴BE2+16=25，
∴BE=3．
∴tan∠ABE=
| 4 |
| 3 |
∴tan∠BAD=tan∠C=
| 4 |
| 3 |
∵AP=t，
∴PF=
| 4 |
| 3 |
∵四边形PFMN是正方形，
∴PF=FM=MN=PN=
| 4 |
| 3 |
∴t+
| 4 |
| 3 |
∴t=
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| 7 |
答：t的值为
| 15 |
| 7 |
（2）如图1，连结PM，MD．
①∵AF=t，
∴PD=5-t，PF=
| 4 |
| 3 |
∴ND=5-t-
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
在Rt△MND中，由勾股定理，得
MD2=
| 65 |
| 9 |
| 70 |
| 3 |
当PD=PM时，
∴PD2=PM2
∴（5-t）2=（
4
| ||
| 3 |
∴23t2-90t-225=0，
解得：t1=
60
| ||
| 23 |
-60
| ||
| 23 |
②当MP=MD时，
∴MP2=MD2，
∴
| 32 |
| 9 |
| 65 |
| 9 |
| 70 |
| 3 |
∴11t2-70t+75=0，
解得：t1=5＞
| 15 |
| 7 |
| 15 |
| 11 |
③当DP=DM时，DP2=DM2，
∴（5-t）2=
| 65 |
| 9 |
| 70 |
| 3 |
∴
| 56t2 |
| 9 |
| 40t |
| 3 |
解得：t1=0（舍去），t2=
| 15 |
| 7 |
综上所述：当t=
60
| ||
| 23 |
| 15 |
| 11 |
| 15 |
| 7 |
（3）①如图2，当0≤t≤
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| 7 |
S=PF2=（
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
②如图3，当
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴∠NDC=∠C．
∴tan∠NDC=
| 4 |
| 3 |
∵PD=5-t，PN=
| 4 |
| 3 |
∴DN=
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
∴NG=
| 28 |
| 9 |
| 20 |
| 3 |
∴S=
| 16 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 3 |
| 28 |
| 9 |
| 20 |
| 3 |
| 50 |
| 27 |
| 140 |
| 9 |
| 50 |
| 3 |
③如图4，当3＜t≤4时，
∵PF=PN=4，PD=5-t，
∴DN=t-1，
∴NG=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
S=16-
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 46 |
| 3 |
④如图5，当4＜t≤5时，
PD=5-t，FC=8-t，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
⑤如图6，当5＜t≤8时
∵FC=8-t，
∴PF=
| 32 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 32 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
| 128 |
| 3 |
∴S=
|
点评：本题考查了菱形的性质的运用，三角函数值的运用，勾股定理的运用，正方形的性质的运用，正方形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用三角函数值求解是关键．
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