Question

2．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CD=BD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若AF=9，EF=12，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图所示．根据切线的性质得到OD⊥DF，得到∠ODF=90°．根据三角形的中位线的性质得到OD∥AC，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到AE=$\sqrt{{9^2}+{{12}^2}}=15$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵AF=9，EF=12，EF⊥AC，
∴AE=$\sqrt{{9^2}+{{12}^2}}=15$，
∵OD∥AC，
∴△AEF∽△OED，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{OD}{AF}$，
即$\frac{OE}{15}=\frac{15-OE}{9}$，
∴OE=$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．