题目内容

设抛物线y=x²+（2a+1）x+2a+ $数学公式$ 的图象与x轴只有一个交点，则a¹⁸+323a^-6的值为________．

5796
分析：利用函数与一元二次方程的结合点：抛物线与x轴只有一个交点等价于△=0，由此可以求得a²-a-1=0；然后利用韦达定理和完全平方和公式a²+b²=（a+b）²-2ab，接下来用了立方和公式，提公因式，用a12+ $\text{[math]}$ 来表示所求的代数式．这种各种公式共同应用的题比较常见．
解答：∵抛物线y=x²+（2a+1）x+2a+ $\text{[math]}$ 的图象与x轴只有一个交点，
∴∴△=（2a+1）²-4×1×（2a+ $\text{[math]}$ ）=0，即a²-a-1=0，
∵a≠0，
∴a- $\text{[math]}$ =1，
a²+ $\text{[math]}$ =（a- $\text{[math]}$ ）²+2
=3，
a⁴+ $\text{[math]}$ =（a²+ $\text{[math]}$ ）²-2
=7，
a⁸+ $\text{[math]}$ =（a⁴+ $\text{[math]}$ ）²-2
=47，
a¹²+ $\text{[math]}$ =（a⁴+ $\text{[math]}$ ）（a⁸+ $\text{[math]}$ -1）
=7×（47-1）
=322，
a¹⁸+323a^-6=（a¹⁸+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
=a⁶（a¹²+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
=322a⁶+ $\text{[math]}$
=322（a⁶+ $\text{[math]}$ ），
a⁶+ $\text{[math]}$
=（a²+ $\text{[math]}$ ）（a⁴+ $\text{[math]}$ -1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a⁶+ $\text{[math]}$ ）=322×18=5796．
即a¹⁸+323a^-6的值为5796．
故答案是：5796．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），在计算中要灵活运用完全平方公式和立方和公式，计算较复杂，要注意计算能力的培养．

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