题目内容

（2011•新华区一模）在图中的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长的正方形，△ABC的3个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与ABC关于直线l对称；
（2）画出ABC绕点O顺时针旋转90°后的A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长；
（3）A1B1C1与A2B2C2成
轴对称
轴对称
．（填”中心对称“或”轴对称“）
分析：（1）根据网格特点，分别找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格特点，分别找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；先利用勾股定理求出OA的长度，然后根据扇形的弧长公式列式计算即可求出点A旋转到A2所经过的路线长；
（3）观察图形即可得解．
解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的△ABC关于直线l对称三角形；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的△ABC绕点O顺时针旋转90°后的三角形；
点A旋转到A2所经过的路线是以点O为圆心，OA为半径的一段圆弧
AA2
的长l，
圆心角∠AOA2=90°，OA=
22+32
=
13
，
∴l=
90π×
13
180
=
13
2
π，
（或l=
1
4
×2
13
π=
13
2
π）．
即点A旋转到A2所经过的路线长为
13
2
π；

（3）观察图形可知，成轴对称．
故答案为：轴对称．
点评：本题考查了利用对称变换与旋转变换作图，以及弧长的计算，熟知网格结构的特点，找出变换后的对应点的坐标是解题的关键．
练习册系列答案
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（2011•新华区一模）解方程组：
3x+2y=5             ①
5x-4y=1              ②
．
（2011•新华区一模）我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．
这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：
（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是
4
4
；
（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线l）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：
①作图确定水塔的位置；
②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）
（3）已知x+y=6，求
x2+9
+
y2+25
的最小值；
此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：
①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=
3
3
，DB=
5
5
；
②在AB上取一点P，可设AP=
x
x
，BP=
y
y
；
③
x2+9
+
y2+25
的最小值即为线段
PC
PC
和线段
PD
PD
长度之和的最小值，最小值为
10
10
．
（2011•新华区一模）在矩形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H．
（1）如图1，当AB=BC时；
①求证：矩形AEFG是正方形；
②猜想AC、FC的位置关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，当AB≠BC时，上面的猜想还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
（2011•新华区一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，点E从A点出发以每秒2个单位长的速度向B点运动，点F从C点同时出发，以每秒1个单位长的速度向D点运动．设运动时间为t秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点F作FH⊥AB于点P，连接BD交FP于点O，连接OE．
（1）底边AB=
6
6
；
（2）设△BOE的面积为S△BOE；
①求S△BOE与时间t的函数关系式；
②当t为何值时，S△BOE=
16
S梯形ABCD．
（3）是否存在点E，使得△BOE为直角三角形；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻，使得OE∥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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