Question

（2011•新华区一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，点E从A点出发以每秒2个单位长的速度向B点运动，点F从C点同时出发，以每秒1个单位长的速度向D点运动．设运动时间为t秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点F作FH⊥AB于点P，连接BD交FP于点O，连接OE．
（1）底边AB=

6

；
（2）设△BOE的面积为S_△BOE；
①求S_△BOE与时间t的函数关系式；
②当t为何值时，S_△BOE=

1

6

S_梯形ABCD．
（3）是否存在点E，使得△BOE为直角三角形；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻，使得OE∥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点C作CH⊥AB于H，利用已知条件和勾股定理即可求出AB的值；
（2）①经过t秒时，AE=2t，CF=t，则BE=6-2t，DF=3-t，证明△ODF∽△DBA，利用相似的性质可求出OF的长，进而求出OP的长，再利用三角形面积公式即可求出△BOE的面积；②利用已知条件求出梯形ABCD的面积，有①可得关于t的一元二次方程，求出符合题意的t值即可；
（3）设经过t秒时，△BOE为直角三角形，在分当∠BOE=90°和∠OEB=90°时讨论求出符合题意的t值即可；
（4）当OE∥BC时易证△EOB∽△CBD和△OBP∽△DBA，利用相似的性质：对应边的比值相等即可求出符合题意的t值．

解答：解：（1）过点C作CH⊥AB于H，
∵∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，
∴CH=4，CD=AH=3，
∴BH=

5 2-42

=3，
∴AB=3+3=6，
故答案为6；

（2）①经过t秒时，AE=2t，CF=t，则BE=6-2t，DF=3-t，
∵AB∥DC，
∴∠ODF=∠DBA，
∵FP⊥AB，
∴FP⊥CD，
∴∠DFO=∠A=90°，
∴△ODF∽△DBA，
∴

OF

DA

=

DF

AB

．
即

OF

4

=

3-t

6

，OF=2-

2

3

t．
∴OP=FP-OF=4-（2-

2

3

t）=2+

2

3

t，
∴S_△BOE=

1

2

BE•OP=

1

2

（6-2t）（2+

2

3

t）=-

2

3

t²+6；
②∵S_梯形ABCD=

1

2

（CD+AB）•AD=

1

2

（3+6）×4=18．
  S_△BOE=

1

6

S_梯形ABCD，即-

2

3

t²+6=

1

6

×18，
解得t=

3 2

2

或t=

3

2

；

（3）存在．
设经过t秒时，△BOE为直角三角形．
①若∠BOE=90°，则AE＜AP，
∵AP=DF，
∴2t＜3-t．解得t＜1，
∴EP=AP-AE=3-t-2t=3-3t，BP=AB-AP=6-（3-t）=3+t．
∵∠EOP+∠BOP=90°，∠OBP+∠BOP=90°，
∴∠EOP=∠OBP，
∵∠OPE=∠BPO=90°，
∴△EOP∽△OBP，
∴

OP

BP

=

EP

OP

，OP²=BP•EP．
∴（2+

2

3

t）²=（3+t）（3-3t），
解得t=

15

31

；
②若∠OEB=90°，此时OE与OP重合，
∴AE=AP=DF，
∴2t=3-t，
∴t=1；

（4）存在，t=

9

5

．
当OE∥BC时，易证△EOB∽△CBD，
∴

BE

CD

=

OB

BD

，
易证△OBP∽△DBA，
∴

OB

BD

=

OP

DA

，
∴

BE

CD

=

OP

DA

，

6-2t

3

=

2+ 2 3 t

4

，
解得t=

9

5

．

点评：本题考查了直角梯形的性质、勾股定理的运用、三角形的面积公式以及梯形的面积公式、相似三角形的判定和相似三角形的性质、以及分类讨论思想在解几何图形中的应用，题目综合性很强难度不小．