Question

直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，AB=8．P是AC上的一个动点，当P在AC上运动时，设PC=x，△ABP的面积为y．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）点P在什么位置时，△ABP的面积等于△ABC的面积的

1

3

．

Answer 1

分析：（1）如图，作PD⊥AB，可得△ADP∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用x表示出PD的长，根据S_△ABP=

1

2

AB×PD，
代入数值，即可求出y与x之间的关系式．
（2）根据题意，△ABP的面积等于△ABC的面积的

1

3

，则S_△ABP=

1

2

AB×PD=

1

3

×

1

2

×6×8，即可得出x的值，可确定点P的位置；

解答：解：（1）如图，作PD⊥AB，
∴△ADP∽△ABC，
∴

PD

BC

=

AP

AC

，即

PD

6

=

10-x

10

，
解得，PD=

30-3x

5

，
∴S_△ABP=

1

2

AB×PD=

1

2

×8×

30-3x

5

=-

12

5

x+24，
∴y与x之间的关系式为：y=-

12

5

x+24；

（2）由题意，S_△ABC=

1

2

×6×8=24，
∵△ABP的面积等于△ABC的面积的

1

3

，
∴S_△ABP=

1

3

S_△ABC=

1

3

×24=8，
即-

12

5

x+24=8，
解得，x=

20

3

，
∴点P在距点C

20

3

处．

点评：本题主要考查了三角形的面积求法和函数关系式，知道三角形的面积计算公式，体会一次函数与二元一次方程的异同点．