Question

如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点（E不与B、C重合）
（1）若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；
（2）求证：△AEM∽△FCM；
（3）若S_△CEF：S_△AEF=1：2，试CE：CF的值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，求出，证△ABE≌△ADF，推出AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，求出∠EAF=90°，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据∠BCD=∠EAF=90°推出C、E、A、F四点共圆，推出∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，根据相似三角形的判定推出即可；
（3）根据三角形面积比求出AB²=3BE²，求出AB=

3

BE，把CE=AB-BE，CF=AB+BE代入求出即可．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，
∵E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

，
由勾股定理得：AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
在△ABE和△ADF中

BE=DF ∠B=∠ADF AB=AD

∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠EAD+∠EAB+∠EAD=∠BAD=90°，
∴△AEF的面积是

1

2

×AE×AF=

1

2

×

5

2

×

5

2

=

5

8

．

（2）证明：∵∠BCD=∠EAF=90°，
∴∠BCD+∠EAF=180°，
∴C、E、A、F四点共圆，
∴∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，
∴△AEM∽△FCM．

（3）解：∵S_△CEF：S_△AEF=1：2，
∴2×

1

2

×CE×CF=

1

2

×AE²，
∵AE²=AB²+BE²，CE=BC-BE=AB-BE，CF=CD+DF=AB+BE，
∴AB²+BE²=2（AB-BE）（AB+BE）=2AB²-2BE²，
AB²=3BE²，
AB=

3

BE，
∴

CE

CF

=

AB-BE

AB+BE

=

3 BE-BE

3 BE+BE

=

3 -1

3 +1

=

2- 3

1

，
即CE：CF=（2-

3

）：1．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．