Question

【题目】如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且.

（1）当时，联结，求的余切值；

（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

（3）联结，若为等腰三角形，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）为6或7.

【解析】

（1）先根据勾股定理求出AB的长度，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出的余切值；

（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质即可写出y关于x的函数解析式；

（3）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点作于点可求出AE的长度，由AE的长可判断出点F的位置，进而求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答.

解：（1）如图1所示，

，，

，

，，

，

.

在中，.

（2）过点作于点（图2），设AE=x，

∵BC⊥AC,

∴EH∥BC,

∴∠AEH=∠B,

∵∠B=∠A,

∴∠AEH=∠A,，

，

又可证，

，

，

;

（3），，

，

若为等腰三角形，只有或两种可能.

①当时，点在边上，过点作于点（如图①），可得：，即点在中点，

此时与重合，；

②当时，点在的延长线上，过点作于点（如图②），

∴，

，

，

，

，

综上所述，为6或7.