Question

14．已知点P（a，4）在抛物线 y=$\frac{1}{4}$x²+c和直线y=-2x上．
（1）求a，c的值；
（2）把此二次函数的图象沿着y轴方向平移b个单位长度所得图象与直线y=-2x有且只有一个公共点，求b的值．

Answer 1

分析 （1）把点P的坐标代入直线方程求得a的值；然后将点P的坐标代入抛物线方程来求c的值；
（2）设抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+3沿着y轴方向平移b个单位长度后得y-b=y=x²+3则得方程-2x-b=y=$\frac{1}{4}$x²++3，得到△=8²-4（4b+12）=16-16k，然后令16-16b=0，解得：b=1，从而确定平移的方向和单位．

解答 解：（1）∵点P（a，4）在直线y=-2x上，
∴4=-2a，
即：a=-2，
又∵点P（-2，4）在抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+c上，
∴4=$\frac{1}{4}$×（-2）²+c，
即：c=3；

（2）把已知的二次函数的图象沿着y轴方向向上平移1个单位长度，所得的图象与直线y=-2x有且只有一个公共点．
理由：由（1）知，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+3和直线y=-2x有两个公共点，
因此设抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+3向上平移b个单位长度后得y-b=y=$\frac{1}{4}$x²+3，
则得方程-2x-b=y=$\frac{1}{4}$x²+3，
即：x²+8x+4b+12=0，
△=8²-4（4b+12）=16-16k，
令16-16b=0，解得：k=1，
故把已知的二次函数的图象沿着y轴方向向上平移1个单位长度，所得的图象与直线y=-2x有且只有一个公共点．

点评 本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象与几何变换的知识，解题的关键是确定二次函数的解析式，难度中等．