已知△ABC中.∠ACB=90°.BC=8.tanA=$\frac{4}{3}$．点D由A出发沿AC向点C匀速运动.同时点E由B出发沿BA向点A匀速运动.它们的速度相同.点F在AB上.FE=4cm.且点F在点E的下方.当点D到达点C时.点E.F也停止运动.连接DF.设AD=x．解答下列问题:(1)如图1.当x为何值时.△ADF为直角三角形,(2)如图2.把△ADF沿AB翻折.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$．点D由A出发沿AC向点C匀速运动，同时点E由B出发沿BA向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在AB上，FE=4cm，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接DF，设AD=x（0≤x≤6）．解答下列问题：
（1）如图1，当x为何值时，△ADF为直角三角形；
（2）如图2，把△ADF沿AB翻折，使点D落在D′点．
①当x为何值时，四边形ADFD′为菱形？并求出菱形的面积；
②如图3，连接D′E，设D′E为y，请求出y关于x的函数关系式；
③如图4，分别取D′F，D′E的中点M，N，在整个运动过程中，试确定线段MN扫过的区域的形状，并求其面积（直接写出答案）．

分析（1）△ADF为直角三角形，有两种可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根据锐角三角函数列方程求解即可；
（2）①根据菱形的判定，可知当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，根据锐角三角函数列方程求出x，计算菱形的面积即可；
②根据锐角三角函数表示出AG、D′G、GE，根据勾股定理列出函数表达式；
③根据三角形中位线定理可知线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，其面积为$\frac{24}{5}$．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴BC=8，AB=10，
∴AD=x，BE=x，AF=6-x，
当∠ADF=90°，如图1左图，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{x}{6-x}=\frac{3}{5}$，
∴$x=\frac{9}{4}$；
当∠AFD=90°，如图1右图，
∵tanA=$\frac{4}{3}$
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{6-x}{x}=\frac{3}{5}$，
∴$x=\frac{15}{4}$，
∴当$x=\frac{9}{4}$或$x=\frac{15}{4}$，△ADF为直角三角形；
（2）①如图2，
∵AD=AD′，D′F=DF，
∴当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，
∴连接DD′⊥AF于G，AG=$\frac{6-x}{2}$，
∵tanA=$\frac{4}{3}$
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AG}{AD}=\frac{{\frac{6-x}{2}}}{x}=\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
S_菱形=$\frac{1}{2}×DD'×AF=\frac{1}{2}×\frac{48}{11}×\frac{36}{11}=\frac{864}{121}$；
②如图3，作D′G⊥AF于G，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴$AG=\frac{3}{5}x，D'G=\frac{4}{5}x$
∴$GE=10-x-\frac{3}{5}x=10-\frac{8}{5}x$，
∴$y=\sqrt{{{（10-\frac{8}{5}x）}^2}+{{（\frac{4}{5}x）}^2}}=\sqrt{\frac{16}{5}{x^2}-32x+100}$=2$\sqrt{\frac{4}{5}{x}^{2}-8x+25}$；
（3）平行四边形，$\frac{24}{5}$．
∵M、N分别为D′F、D′E的中点，
∴MN∥EF，MN=$\frac{1}{2}$EF=2，
∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，
当D运动到C，则F正好运动到A，此时MA=$\frac{1}{2}$D′A=$\frac{1}{2}$DA=3，
∵∠DAB=∠D′AB，
∴tanA=tan∠D′AB=$\frac{4}{3}$，
点M到AB的距离设为4x，则（3x）²+（4x）²=3²，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
4x=$\frac{12}{5}$，
∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形的面积=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．