Question

解方程：

x

x2+1

+

x2+1

x

=

5

2

Answer 1

分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程因为

x

x2+1

与

x2+1

x

互为倒数，所以可设

x

x2+1

=y，则原方程可变形整理为y+

1

y

=

5

2

，再进一步解这个方程即可．

解答：解：设

x

x2+1

=y，
则原方程可变形整理为：y+

1

y

=

5

2

，
整理得：2y²-5y+2=0．
解得：y₁=2，y₂=

1

2

．
当

x

x2+1

=2时，方程可整理为2x²-x+2=0，
因为△=b²-4ac=-15＜0，所以方程无解．
当

x

x2+1

=

1

2

时，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
∴原方程的根为x=1．

点评：本题若用常规方法，则较繁琐，灵活应用换元法，则可化繁为简，因此解分式方程时，要根据方程特点选择合适的方法．