Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E、F是⊙O上的两点，连结AE、CF、DF，满足EA＝CA.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径是3，tan∠CFD＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OA，OE，易证△AOC≌△AOE（SSS），从而可知∠OEA=∠ACB=90°，所以AE是⊙O的切线．

（2）连接CD，因为∠CBA=∠CFD，所以tan∠CBA=tan∠CFD=，从而可求出AC=8，利用勾股定理即可求出AB=10，再证明△ADC∽△ACB，从而可求出AD的长度．

（1）连接OA，OE，

在△AOC与△AOE中，

∴△AOC≌△AOE（SSS）

∴∠OEA=∠ACB=90°，

∴OE⊥AE，

∴AE是⊙O的切线

（2）连接CD

∵∠CBA=∠CFD

∴tan∠CBA=tan∠CFD=，

∵在Rt△ACB中，

tan∠CBA=

∴AC=8

∴由勾股定理可知：AB=10，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠CDB=∠ADC=90°，

∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB

∴，

∴AD=6.4