Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：；
（3）若,求的值.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

试题分析：（1）根据等腰梯形的等腰三角形的性质，可得∠B=∠C=∠OEC.，从而判定OE∥AB.
（2）要证明，只需证明四边形OEHF是平行四边形，要证明OEHF是平行四边形，已知它有一组对边平行，只需再说明另一组对边平行，由已知EH⊥AB和圆切线的性质即可得到.
（3）要求，只要证明△EHB∽△DEC，再根据相似三角形的性质来求即可.
（1）在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C.
∵OE=OC，∴∠OEC=∠C. ∴∠B=∠OEC.
∴OE∥AB．
（2）如图，连接OF．
∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB.
∵EH⊥AB，∴OF∥EH.
又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形.
∴EH=OF，∴.
（3）如图，连接DE．
∵CD是直径，∴∠DEC=90°.∴∠DEC=∠EHB.
又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC. ∴.
∵，设，则，
∴. ∴.