题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，0），直线y=- $数学公式$ x+b经过点A，与y轴交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）若动点P从B点出发，以5个单位/秒的速度沿BO向终点O运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，M为PQ上的一点，且QM=2PM，过M点作MN⊥OA，垂足为N，设MN的长为y，点P的运动时间为t，求y关于t（秒）的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，将△BPQ沿直线PQ折叠得到△B′PQ，过B′点作B′D垂直x轴于点D，当t为何值时，∠MB′N=90°，并判断此时直线B′D与以MN为直径的⊙O′的位置关系，请说明理由．

解：（1）把（6，0）代入y=- $\text{[math]}$ x+b，得
0=-8+b，
∴b=8，
∴y=- $\text{[math]}$ x+8，当x=0时，y=8，
∴B（0，8）；

（2）∵OB=8，OA=6，由勾股定理得AB=10．
∵PQ⊥AB，BP=5t，
∴sin∠OBA= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PQ=3t，
∴BQ=4t，
∵QM=2PM，
∴PM=t，QM=2t．
如图1，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN⊥OA，
∴MN∥OB，
∴∠MPH=∠0BA，
∴sin∠MPH= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴MH= $\text{[math]}$ t，
∴ON=PH= $\text{[math]}$ t，
∵HN=PO=8-5t，
∴y=MN=MH+HN=8-5t+ $\text{[math]}$ t，
∴y=- $\text{[math]}$ t+8（0＜t≤ $\text{[math]}$ ）；

（3）如图2，过点N作NK⊥AB于K，
∵PQ⊥AB，
∴∠MQB′=∠NKB′=90°．
根据题意B′点在直线AB 上，且BQ=B′Q=4t，
∵∠MB′N=90°，
∴∠MB′Q+∠NB′K=90°．
∵∠NB′K+∠B′NK=90°，
∴∠MB′Q=∠B′NK，
∴△MB′Q∽△B′NK，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ON= $\text{[math]}$ t，AN=6- $\text{[math]}$ t，NK=（6- $\text{[math]}$ t）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，AK=（6- $\text{[math]}$ t）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
过点O′作O′R⊥B′D于R，当t= $\text{[math]}$ 时．
ON= $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$ ，的值，计算比较O′R=MD=OD-ON=OA-AD-ON=6- $\text{[math]}$ AB′- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ MN= $\text{[math]}$ ，
∴O′R＜ $\text{[math]}$ MN，
∴直线B′D于⊙O′相交．

分析：（1）把点A的坐标为（6，0）代入直线y=- $\text{[math]}$ x+b求出直线的解析式，当x=0时求出y值就可以求出点B的坐标．
（2）由（1）B的坐标可以求出OB，再由勾股定理就可以求出AB的值，由PQ⊥AB，根据三角形的正弦值表示出PQ再由已知条件可以表示出PM，如图1作PH⊥MN可以求得∠MPH=∠ABO，可以表示出MH，这样就可以得出结论．
（3）如图2，作NK⊥AB于K，O′R⊥B′D于R，通过证明△MQB′∽△B′KN，利用（2）的结论可以求出∠MB′N=90°时t的值，然后就可以表示出ON，MN的值，计算比较O′R与 $\text{[math]}$ MN的大小从而可以确定B′D与⊙O′的位置关系．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了点的坐标，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的运用．