Question

如图，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图3)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．

请你说明理由．

(4)如图4，点E是□ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是□ABCD的黄金分割线．请你画一条□ABCD的黄金分割线，使它不经过□ABCD各边黄金分割点．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)直线是的黄金分割线．理由如下：

　　设的边上的高为．

　　，，，

　　所以，，．　　2分

　　又因为点为边的黄金分割点，所以有．因此．

　　所以，直线是的黄金分割线．　　4分

　　(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即

　　，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．　　6分

　　(3)因为，所以和的公共边上的高也相等，

　　所以有．　　7分

　　设直线与交于点．所以．

　　所以

　　，．

　　又因为，所以．　　9分

　　因此，直线也是的黄金分割线．　　10分

　　(4)画法不惟一，现提供两种画法；　　12分

　　画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线．

　　画法二：如答图2，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．