Question

如图①，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

1.研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图②所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

2.请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

3.研究小组在进一步探究中发现：过点C任意作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF，如图③所示，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

4.如图④，点E是□ABCD的边AB上的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是□ABCD的黄金分割线，请你画一条□ABCD的黄金分割线，使它不经过□ABCD各边黄金分割点．

 

Answer 1

 

1.对。三角形面积=底×高。△ABC面积一定，在AB边上的高一定，那么AD：AB=S△ADC：S△ABC=BD：AD=S△BCD：S△ACD，符合图形的黄金分割线定义。

2.否。三角形的中线将三角形的面积等分。设原三角形面积为S，则中线分割后的两个三角形面积分别为，不满足图形的黄金分割线定义。

3.过D作BC边上的高DD‘交BC于D'。过E作BC边上的高EE’交BC于E'。 因为DF‖CE，所以BF：BC=BD：BE，

因为DD'‖EE'，所以BD：BE=DD‘：EE’，

因为 S△BCD=×EE'×BC

    S△BEF=×DD'×BF

所以S△BCD：S△BEF=1：1=1    即S△BCD=S△BEF

根据（1）及图形的黄金分割线定义，EF也是黄金分割线。

4.过FE中点，与AB、CD分别相交即可

解析:结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；