题目内容

（2014•宝山区一模）如图，已知抛物线y=-
14
x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．
解答：解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=-
1
4
x2+bx+4上，
∴-
1
4
×64+8b+4=0，
解得b=
3
2
，
∴抛物线的解析式为y=-
1
4
x2+
3
2
x+4，
对称轴为直线x=-
3
2
2×(-
1
4
)
=3；

（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，则-
1
4
x2+
3
2
x+4=0，
即x2-6x-16=0，
解得x1=-2，x2=8，
∴点A的坐标为（-2，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵
OC
OA
=
OB
OC
=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
8k+b=0
b=4
，
解得
k=-
1
2
b=4
，
∴直线BC的解析式为y=-
1
2
x+4，
∵MN∥y轴，
∴MN=-
1
4
x2+
3
2
x+4-（-
1
2
x+4），
=-
1
4
x2+
3
2
x+4+
1
2
x-4，
=-
1
4
x2+2x，
=-
1
4
（x-4）2+4，
∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；

（4）由勾股定理得，AC=
22+42
=2
5
，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，
①AC=CQ时，DQ=
CQ2-CD2
=
(2
5
)2-32
=
11
，
点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+
11
，
此时点Q1（3，4+
11
），
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-
11
，
此时点Q2（3，4-
11
），
②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，
CQ=
32+42
=5，
∴AQ=CQ，
此时，点Q3（3，0），
综上所述，点Q的坐标为（3，4+
11
）或（3，4-
11
）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，二次函数的最值问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，难点在于（4）要分情况讨论．
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