Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，顶点为(1，)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵抛物线的顶点为(1，) 　　∴设抛物线的函数关系式为y＝a(x－1)2＋　2分 　　∵抛物线与y轴交于点C(0，4)， 　　∴a(0－1)2＋＝4 　　解得a＝－ 　　∴所求抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋　4分 　　(2)解：P1(1，)，P2(1，－)，P3(1，8)，P4(1，)，　8分 　　(3)解：令－(x－1)2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4 　　∴抛物线y＝－(x－1)2＋与x轴的交点为A(－2，0)　C(4，0)　9分 　　过点F作FM⊥OB于点M， 　　∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝ 　　又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB 　　设E点坐标为(x，0)，则EB＝4－x，MF＝(4－x)　10分 　　∴S＝S△BCE－S△BEF＝EB·OC－EB·MF 　　＝EB(OC－MF)＝(4－x)[4－(4－x)] 　　＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋3 　　∵a＝－＜0，∴S有最大值 　　当x＝1时3，S最大值＝3　11分 　　此时点E的坐标为(1，0)　12分