Question

4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂．照此规律作下去，则S₂₀₁₆=$\frac{1}{{4}^{2015}}$．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理可求出S₁的值，进而可得出S₂的值，找出规律即可得出S₂₀₁₆的值．

解答 解：∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=2，解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴S_△DCE=$\frac{1}{4}$S_△ABC．
同理，S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC．
∴S₁=S_△ABC-S_△DCE-S_△BEF=$\frac{1}{2}$×S_△ABC，
同理求得S₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$×S_△ABC，
…
Sn=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$•S_△ABC，
S₂₀₁₆×S_△ABC=$\frac{1}{{2}^{4032}}$×2=$\frac{1}{{4}^{2015}}$，
故答案为：$\frac{1}{{4}^{2015}}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．